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 "cells": [
  {
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   "metadata": {},
   "source": [
    "# 第三节 全微分\n",
    "\n",
    "## 一、全微分的定义\n",
    "\n",
    "由偏导数的定义知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，\n",
    "因变量相对于该自变量的变化率。根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得：\n",
    "\n",
    "$ f(x+\\Delta x, y) - f(x, y) = f_1(x, y) \\Delta x, $\n",
    "$f(x, y+\\Delta y) - f(x, y) = f_2(x, y) \\Delta y.$"
   ]
  },
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   "source": [
    "上面两式的左端分别叫做二元函数对 x 和对 y 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对 x 和对 y 的偏微分。\n",
    "\n",
    "在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题。下面以二元函数为例进行讨论。\n",
    "设函数 \n",
    "z=f(x,y) 在点 P(x,y)的某邻域内有定义，P′(x+Δx,y+Δy) 为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)为函数在点 P 对应于自变量增量Δx和Δy 的全增量，记作 Δz，即："
   ]
  },
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   "source": [
    "$ \\Delta z = f(x+\\Delta x, y+\\Delta y) - f(x, y). \\quad (3-1) $"
   ]
  },
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   "source": [
    "一般说来，计算全增量 Δz 比较复杂。与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量Δx、Δy 的线性函数来近似地代替函数的全增量Δz，从而引入如下定义。\n",
    "\n",
    "定义：设函数z=f(x,y)在点 (x,y)的某邻域内有定义，如果函数在点 (x,y) 的全增量"
   ]
  },
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   "source": [
    "$ \\Delta z = f(x+\\Delta x, y+\\Delta y) - f(x, y) $"
   ]
  },
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   "source": [
    "可表示为"
   ]
  },
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   "source": [
    "$ \\Delta z = A\\Delta x + B\\Delta y + o(\\rho), \\quad (3-2) $"
   ]
  },
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   "source": [
    "其中A和B不依赖于Δx和Δy 而仅与x和y 有关，ρ=√(Δx)2+(Δy)2，那么称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而AΔx+BΔy 称为函数z=f(x,y)z=f(x,y) 在点(x,y) 的全微分，记作 dz，即："
   ]
  },
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   "source": [
    "$dz = A\\Delta x + B\\Delta y.$"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分。\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
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   "metadata": {},
   "source": [
    "# 第三节 全微分\n",
    "\n",
    "## 一、全微分的定义\n",
    "\n",
    "在该点必定连续。事实上，这时由(3-2)式可得\n",
    "\n",
    "$\\lim_{p \\rightarrow 0} \\Delta z = 0,$"
   ]
  },
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   "source": [
    "从而①"
   ]
  },
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   "source": [
    "$ \\lim_{(x, y) \\rightarrow (0,0)} f(x+\\Delta x, y+\\Delta y) = \\lim_{p \\rightarrow 0} [f(x, y) + \\Delta z] = f(x, y). $"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "因此函数z=f(x,y) 在点(x,y) 处连续。下面讨论函数z=f(x,y) 在点(x,y) 可微分的条件。\n",
    "定理 1（必要条件） 如果函数z=f(x,y) 在点(x,y) 可微分，那么该函数在点(x,y) 的偏导数∂z/∂x与∂z/∂y 必定存在，且函数z=f(x,y) 在点(x,y) 的全微分为"
   ]
  },
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   "source": [
    "$ dz = \\frac{\\partial z}{\\partial x} \\Delta x + \\frac{\\partial z}{\\partial y} \\Delta y. \\quad (3-3) $"
   ]
  },
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   "source": [
    "证明 设函数z=f(x,y) 在点P(x,y) 可微分。于是，对于点P的某个邻域内的任意一点P′(x+Δx,y+Δy)，(3-2) 式总成立。特别当Δy=0 时 (3-2) 式也应成立，这时ρ=∣Δx∣，所以 (3-2) 式成为"
   ]
  },
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    "$ f(x+\\Delta x, y) - f(x, y) = A \\cdot \\Delta x + o(|\\Delta x|). $"
   ]
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   "source": [
    "上式两边各除以Δx，再令Δx→0 而取极限，就得"
   ]
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   "source": [
    "$ \\lim_{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f(x+\\Delta x, y) - f(x, y)}{\\Delta x} = A, $"
   ]
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   "source": [
    "从而偏导数∂z/∂x存在，且等于A。同样可证∂y∂z=B。所以 (3-3) 式成立。证毕。\n",
    "我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件。但对于多元函数来说，情形就不同了。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出∂z/∂xΔx+∂z/∂yΔy，但它与Δz 之差并不一定是较ρ 高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分。换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。例如，函数"
   ]
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   "source": [
    "$ f(x, y) = \\begin{cases} \n",
    "\\frac{xy}{\\sqrt{x^2+y^2}}, & x^2+y^2 \\neq 0, \\\\\n",
    "0, & x^2+y^2 = 0 \n",
    "\\end{cases} $"
   ]
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    "在点(0,0) 处有f1(0,0)=0 及f2(0,0)=0，所以"
   ]
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    "$ \\Delta z - [f_1(0,0) \\cdot \\Delta x + f_2(0,0) \\cdot \\Delta y] = \\frac{\\Delta x \\cdot \\Delta y}{\\sqrt{(\\Delta x)^2 + (\\Delta y)^2}}, $"
   ]
  },
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   "source": [
    "如果考虑点P′(Δx,Δy) 沿着直线y=x 趋于(0,0)，那么"
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